243에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되면서 4의 배수가 되도록 할 때, 곱할 수 있는 가장 작은 자연수를 구하기 위해서는 먼저 243의 소인수 분해를 해야 합니다.
243은 (3^5)로 소인수 분해됩니다. 어떤 수의 제곱이 되기 위해서는 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다. 현재 243의 소인수는 (3^5)로, 지수가 홀수입니다. 따라서 (3^5)를 짝수로 만들기 위해서는 (3^1)을 곱해야 합니다. 즉, (3)을 곱하면 (3^{5+1} = 3^6)이 되어 짝수가 됩니다.
또한, 문제에서 요구하는 조건 중 하나는 결과가 4의 배수여야 한다는 것입니다. 4의 배수는 (2^2)의 형태를 가져야 하므로, (2)의 소인수도 포함되어야 합니다. 현재 243의 소인수 분해에는 (2)가 포함되어 있지 않으므로, (2^2)를 포함하기 위해 (4)를 곱해야 합니다.
결론적으로, (3)과 (4)를 곱해야 하므로, 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 (3 \times 4 = 12)입니다.
따라서, 243에 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 12입니다.
이 문제의 풀이 과정은 소인수 분해와 지수의 성질을 이용하여 해결하였으며, 추가적인 설명은 다음의 블로그에서 확인할 수 있습니다: 블로그 링크.