자연수 A의 약수의 개수가 10이라는 것은 A의 소인수분해를 통해 약수의 개수를 계산할 수 있다는 것을 의미합니다. 약수의 개수는 소인수의 지수에 1을 더한 값을 곱하여 구합니다. 즉, A를 소인수분해하여 ( A = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \ldots \times p_k^{e_k} )로 표현할 때, 약수의 개수 ( d(A) )는 다음과 같이 계산됩니다:
[ d(A) = (e_1 + 1)(e_2 + 1) \ldots (e_k + 1) ]
여기서 ( d(A) = 10 )이므로, 10을 만드는 조합을 찾아야 합니다. 10은 다음과 같은 조합으로 표현할 수 있습니다:
( 10 = 10 ) (즉, ( A = p_1^9 ))
( 10 = 5 \times 2 ) (즉, ( A = p_1^4 \times p_2^1 ))
( 10 = 2 \times 5 ) (즉, ( A = p_1^1 \times p_2^4 )) 이 조합을 통해 가능한 A의 값을 찾을 수 있습니다.
( A = p_1^9 ): 가장 작은 소수인 2를 사용하면 ( A = 2^9 = 512 )입니다.
( A = p_1^4 \times p_2^1 ): ( p_1 = 2, p_2 = 3 )일 때 ( A = 2^4 \times 3^1 = 16 \times 3 = 48 )입니다.
( A = p_1^1 \times p_2^4 ): ( p_1 = 2, p_2 = 3 )일 때 ( A = 2^1 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162 )입니다. 이 중에서 가장 작은 자연수는 48입니다. 따라서, 양의 약수의 개수가 10인 자연수 중 가장 작은 수는 48입니다.
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