[질문] 자연수 a의 약수의 개수를 n(a)로 나타낼 때, n(240) ÷n(162) × n(x)=20을 만족시키는 자연수 x중 가장 작은 수를 구하시오

자연수 ( a )의 약수의 개수 ( n(a) )는 ( a )의 소인수 분해를 통해 구할 수 있습니다. ( a = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \ldots \times p_k^{e_k} ) 형태로 소인수 분해가 되면, 약수의 개수는 다음과 같이 계산됩니다:

[ n(a) = (e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1) ]

먼저 ( n(240) )과 ( n(162) )를 구해보겠습니다.

1. ( n(240) ) 구하기

240의 소인수 분해: [ 240 = 2^4 \times 3^1 \times 5^1 ] 따라서, [ n(240) = (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 5 \times 2 \times 2 = 20 ]

2. ( n(162) ) 구하기

162의 소인수 분해: [ 162 = 2^1 \times 3^4 ] 따라서, [ n(162) = (1 + 1)(4 + 1) = 2 \times 5 = 10 ]

3. 주어진 식에 대입하기

주어진 식은 다음과 같습니다: [ \frac{n(240)}{n(162)} \times n(x) = 20 ] 여기서 ( n(240) = 20 )과 ( n(162) = 10 )을 대입하면, [ \frac{20}{10} \times n(x) = 20 ] 즉, [ 2 \times n(x) = 20 ] 따라서, [ n(x) = 10 ]

4. ( n(x) = 10 )을 만족하는 가장 작은 자연수 ( x ) 찾기

약수의 개수가 10인 자연수를 찾기 위해 ( n(x) = 10 )이 되는 경우를 고려합니다. ( n(x) = 10 )이 되는 경우는 다음과 같습니다:

1. ( p_1^9 ) 형태 (소수의 9제곱)

2. ( p_1^1 \times p_2^4 ) 형태 (소수 2개, 각각 1과 4의 지수)

3. ( p_1^2 \times p_2^2 \times p_3^1 ) 형태 (소수 3개, 각각 2, 2, 1의 지수) 이제 각 경우에 대해 가장 작은 ( x )를 찾아보겠습니다.

4. ( p_1^9 ): ( 2^9 = 512 )

5. ( p_1^1 \times p_2^4 ): ( 2^1 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162 )

6. ( p_1^2 \times p_2^2 \times p_3^1 ): ( 2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 4 \times 9 \times 5 = 180 ) 이 중에서 가장 작은 수는 ( 162 )입니다.

따라서, ( n(x) = 10 )을 만족하는 가장 작은 자연수 ( x )는 [ \boxed{162} ]입니다.