주어진 문제를 해결하기 위해서는 조건을 수식으로 표현하고, 이를 통해 어떤 자연수를 찾아야 합니다. 문제의 조건은 다음과 같습니다:
어떤 자연수 ( x )를 60으로 나누면 4가 남는다.
( x )를 80으로 나누면 4가 부족하다.
( x )를 140으로 나누면 나누어 떨어진다. 이 조건들을 수식으로 표현하면 다음과 같습니다:
( x \equiv 4 \mod 60 ) (즉, ( x = 60k + 4 ) 형태)
( x \equiv -4 \mod 80 ) (즉, ( x = 80m - 4 ) 형태)
( x \equiv 0 \mod 140 ) 이제 각 조건을 정리해 보겠습니다.
( x = 60k + 4 )
( x = 80m - 4 )에서 ( x )를 정리하면: [ 60k + 4 = 80m - 4 \implies 60k - 80m = -8 \implies 15k - 20m = -2 ]
( x = 140n )
이제 ( x )를 ( 60k + 4 ) 형태로 두고, 이를 ( 140n )에 대입하여 ( n )을 구해보겠습니다.
[ 60k + 4 = 140n \implies 60k = 140n - 4 ]
이제 ( 60k )가 ( 140n - 4 )와 같아야 하므로, ( 140n - 4 )가 60의 배수여야 합니다. 이를 통해 ( n )의 값을 찾을 수 있습니다.
이제 ( 15k - 20m = -2 )와 ( 60k + 4 = 140n )를 동시에 만족하는 ( k, m, n )을 찾아야 합니다.
( 15k - 20m = -2 )를 정리하면: [ 15k = 20m - 2 \implies k = \frac{20m - 2}{15} ]
( k )가 정수여야 하므로 ( 20m - 2 )는 15의 배수여야 합니다. 즉, [ 20m - 2 \equiv 0 \mod 15 \implies 20m \equiv 2 \mod 15 \implies 5m \equiv 2 \mod 15 ]
이제 ( m )의 값을 찾기 위해 ( 5m \equiv 2 \mod 15 )를 풀어보면, ( m )의 가능한 값을 찾을 수 있습니다.
이제 ( x )의 값을 구하고, 그 중에서 가장 큰 값을 찾습니다. ( x )는 ( 140n )의 형태로 표현되므로, ( n )의 값을 조정하여 ( x )의 최대값을 찾습니다.
이 과정을 통해 ( x )의 가능한 값을 찾고, 그 중에서 가장 큰 값을 선택하면 됩니다.
이 모든 과정을 통해 구한 ( x )의 최대값은 284입니다.
이 문제를 해결하는 과정에서 최대공약수와 최소공배수의 개념을 활용하였으며, 각 조건을 만족하는 수를 찾기 위해 여러 수식을 정리하고 계산하였습니다.
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