[질문] X는 3의 제곱곱하기 a의 세제곱(a는 소수)의 약수의 개수가 6개일때 가장 작은 자연수 x는?

주어진 문제는 ( x = 3^2 \times a^3 )의 약수의 개수가 6개일 때, 가장 작은 자연수 ( x )를 찾는 것입니다. 여기서 ( a )는 소수입니다.

1. 약수의 개수 공식: 어떤 자연수 ( n )이 소인수분해로 ( p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \ldots \times p_k^{e_k} )로 표현될 때, ( n )의 약수의 개수는 ( (e_1 + 1)(e_2 + 1) \cdots (e_k + 1) )로 주어집니다.

2. 소인수분해: 주어진 ( x )를 소인수분해하면: [ x = 3^2 \times a^3 ] 여기서 ( a )는 소수이므로 ( a )는 ( p_1^{e_1} ) 형태로 나타낼 수 있습니다.

3. 약수의 개수 계산: ( x )의 약수의 개수는 다음과 같습니다: [ (2 + 1)(3 + 1) = 3 \times 4 = 12 ] 하지만 문제에서 약수의 개수가 6개라고 했으므로, ( a )의 지수를 조정해야 합니다.

4. 약수의 개수가 6개가 되도록 설정: 약수의 개수가 6개가 되려면: [ (2 + 1)(e + 1) = 6 ] 여기서 ( e )는 ( a )의 지수입니다. 이를 풀면: [ 3(e + 1) = 6 \implies e + 1 = 2 \implies e = 1 ] 즉, ( a )는 ( p^1 ) 형태의 소수여야 합니다.

5. 가장 작은 소수 선택: 가장 작은 소수는 2입니다. 따라서 ( a = 2 )로 설정합니다.

6. 최종 계산: 이제 ( x )를 계산합니다: [ x = 3^2 \times 2^3 = 9 \times 8 = 72 ]

결론적으로, 약수의 개수가 6개인 ( x )의 가장 작은 자연수는 72입니다.

참고 URL: 소인수분해와 약수의 개수