[질문] 24 곱하기 x의 약수의 개수가 16일 때 2,3,4,5,6 중 x가 될 수 있는 수는?

24 곱하기 ( x )의 약수의 개수가 16일 때, ( x )가 될 수 있는 수를 찾기 위해 먼저 24의 소인수분해를 해보겠습니다.

24는 다음과 같이 소인수분해됩니다: [ 24 = 2^3 \times 3^1 ]

약수의 개수는 각 소인수의 지수에 1을 더한 값을 곱하여 구할 수 있습니다. 따라서 24의 약수의 개수는 다음과 같습니다: [ (3 + 1)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8 ]

이제 ( 24x )의 약수의 개수가 16이 되어야 하므로, ( x )의 소인수분해를 고려해야 합니다. ( x )를 소인수분해하면 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있습니다: [ x = 2^a \times 3^b \times p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \ldots \times p_k^{c_k} ] 여기서 ( p_1, p_2, \ldots, p_k )는 2와 3이 아닌 소수입니다.

따라서 ( 24x )의 소인수분해는 다음과 같습니다: [ 24x = 2^{3+a} \times 3^{1+b} \times p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \ldots \times p_k^{c_k} ]

이때 ( 24x )의 약수의 개수는 다음과 같이 계산됩니다: [ (3 + a + 1)(1 + b + 1)(c_1 + 1)(c_2 + 1) \ldots (c_k + 1) = 16 ]

여기서 ( (3 + a + 1)(1 + b + 1) )의 곱이 16이 되어야 하므로, ( (4 + a)(2 + b) = 16 )이 됩니다.

이제 ( (4 + a)(2 + b) = 16 )을 만족하는 ( a )와 ( b )의 조합을 찾아보겠습니다.

1. ( 4 + a = 16 ), ( 2 + b = 1 ) → ( a = 12 ), ( b = -1 ) (불가능)
2. ( 4 + a = 8 ), ( 2 + b = 2 ) → ( a = 4 ), ( b = 0 ) (가능)
3. ( 4 + a = 4 ), ( 2 + b = 4 ) → ( a = 0 ), ( b = 2 ) (가능)
4. ( 4 + a = 2 ), ( 2 + b = 8 ) → ( a = -2 ), ( b = 6 ) (불가능) 가능한 조합은 ( (a, b) = (4, 0) ) 또는 ( (0, 2) )입니다.

이제 ( x )의 값을 구해보겠습니다.

1. ( a = 4, b = 0 )일 때: [ x = 2^4 \times 3^0 = 16 ]
2. ( a = 0, b = 2 )일 때: [ x = 2^0 \times 3^2 = 9 ]

주어진 선택지 ( {2, 3, 4, 5, 6} ) 중에서 ( x )가 될 수 있는 수는 없습니다.

결론적으로, ( x )가 될 수 있는 수는 16 또는 9이며, 주어진 선택지에는 포함되어 있지 않습니다.

더 자세한 내용은 수학방에서 확인하실 수 있습니다.