약수의 개수가 16인 자연수를 찾기 위해서는 소인수분해를 활용하여 약수의 개수를 계산하는 방법을 사용해야 합니다. 약수의 개수는 다음과 같은 공식을 통해 구할 수 있습니다:
- 자연수를 소인수분해합니다. 예를 들어, ( n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \ldots \times p_k^{e_k} ) 형태로 표현합니다.
- 각 소인수의 지수에 1을 더한 후, 이 값들을 모두 곱합니다. 즉, 약수의 개수 ( d(n) )는 다음과 같습니다:
[
d(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1) \ldots (e_k + 1)
]
여기서 ( d(n) = 16 )이 되도록 하는 ( n )을 찾아야 합니다. 16을 만드는 조합은 다음과 같습니다:
- ( 16 = 16 ) → ( n = p^{15} ) (소수 ( p ))
- ( 16 = 8 \times 2 ) → ( n = p_1^7 \times p_2^1 )
- ( 16 = 4 \times 4 ) → ( n = p_1^3 \times p_2^3 )
- ( 16 = 4 \times 2 \times 2 ) → ( n = p_1^3 \times p_2^1 \times p_3^1 )
- ( 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 ) → ( n = p_1^1 \times p_2^1 \times p_3^1 \times p_4^1 )
이 조합을 통해 몇 가지 예를 들어보겠습니다.
- ( n = 2^{15} = 32768 ): 약수의 개수는 16개입니다.
- ( n = 2^7 \times 3^1 = 128 \times 3 = 384 ): 약수의 개수는 ( (7 + 1)(1 + 1) = 8 \times 2 = 16 )입니다.
- ( n = 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216 ): 약수의 개수는 ( (3 + 1)(3 + 1) = 4 \times 4 = 16 )입니다.
- ( n = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120 ): 약수의 개수는 ( (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 \times 2 \times 2 = 16 )입니다.
- ( n = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210 ): 약수의 개수는 ( (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 )입니다.
이와 같이 약수의 개수가 16인 자연수는 여러 가지가 있으며, 위의 예시들처럼 소인수의 조합에 따라 다양한 수를 만들 수 있습니다.
더 자세한 내용은 아래의 링크를 참고하시기 바랍니다: