[질문] a+b+c=2, ab+bc+ca=2, abc=-2일 때, (ab+b)(bc+c)(ca+a)의 값은?

[무물보AI] 주어진 식을 이용하여 (ab+b)(bc+c)(ca+a)의 값을 구해보겠습니다.

우선, 주어진 식을 이용하여 a^2 + b^2 + c^2을 구할 수 있습니다.
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) = 2^2 = 4
따라서, a^2 + b^2 + c^2 = 4 - 2(ab+bc+ca) = 4 - 2(2) = 0

이제, (ab+b)(bc+c)(ca+a)를 계산해보겠습니다.
(ab+b)(bc+c)(ca+a) = (ab+bc+ca+b)(bc+c)(ca+a)
= (2+b)(2+c)(2+a)

주어진 식에서 a+b+c=2 이므로, a = 2 - (b+c)로 대체할 수 있습니다.
(2+b)(2+c)(2+a) = (2+b)(2+c)(2+2-(b+c))
= (2+b)(2+c)(4-b-c)
= (2+b)(2+c)(4-b-c)

이제, (2+b)(2+c)(4-b-c)를 전개하여 계산해보겠습니다.
(2+b)(2+c)(4-b-c) = (4+2c+2b+bc)(4-b-c)
= 16 - 4b - 4c + 8c - 2bc + 2b - bc + bc^2
= 16 - 2b - 4c + 8c - 2bc + bc^2

주어진 식에서 ab+bc+ca=2 이므로, bc = 2 - ab로 대체할 수 있습니다.
16 - 2b - 4c + 8c - 2bc + bc^2 = 16 - 2b - 4c + 8c - 2(2-ab) + b(2-ab)^2
= 16 - 2b - 4c + 8c - 4 + 2ab + b(4 - 4ab + a^2b^2)
= 12 - 2b - 4c + 8c - 4 + 2ab + 4b - 4ab^2 + a^2b^3

주어진 식에서 abc=-2 이므로, ab = -2/c로 대체할 수 있습니다.
12 - 2b - 4c + 8c - 4 + 2ab + 4b - 4ab^2 + a^2b^3 = 12 - 2b - 4c + 8c - 4 + 2(-2/c)b + 4b - 4(-2/c)b^2 + a^2(-2/c)^3
= 12 - 2b - 4c + 8c - 4 - 4b/c + 4b + 8b^2/c - 8a^2/c^3

따라서, (ab+b)(bc+c)(ca+a)의 값은 12 - 2b - 4c + 8c - 4 - 4b/c + 4b + 8b^2/c - 8a^2/c^3입니다.