[질문] x에 대한 일차방정식 3(4x+1)=ax-1의 해가 음의 정수가 되도록 하는 모든 a의 값의 합은?

주어진 일차방정식은 ( 3(4x + 1) = ax - 1 )입니다. 이를 정리해 보겠습니다.

1. 좌변을 전개합니다: [ 3(4x + 1) = 12x + 3 ]

2. 따라서 방정식은 다음과 같이 됩니다: [ 12x + 3 = ax - 1 ]

3. 이제 ( ax )를 좌변으로 옮기고 상수를 우변으로 옮깁니다: [ 12x - ax = -1 - 3 ] [ (12 - a)x = -4 ]

4. ( x )에 대해 정리하면: [ x = \frac{-4}{12 - a} ]

이제 ( x )가 음의 정수가 되도록 하기 위해서는 ( 12 - a )가 양수여야 하고, ( -4 )가 ( 12 - a )로 나누어 떨어져야 합니다.

5. ( 12 - a > 0 )이므로: [ a < 12 ]

6. ( -4 )가 ( 12 - a )로 나누어 떨어지려면 ( 12 - a )는 ( -4 )의 약수여야 합니다. ( -4 )의 약수는 ( \pm 1, \pm 2, \pm 4 )입니다. 따라서 ( 12 - a )는 다음과 같은 값을 가질 수 있습니다:

   • ( 1 )
   • ( 2 )
   • ( 4 )
   • ( -1 )
   • ( -2 )
   • ( -4 )

7. 각 경우에 대해 ( a )를 구해보겠습니다:

   • ( 12 - a = 1 ) → ( a = 11 )
   • ( 12 - a = 2 ) → ( a = 10 )
   • ( 12 - a = 4 ) → ( a = 8 )
   • ( 12 - a = -1 ) → ( a = 13 ) (이 경우는 제외)
   • ( 12 - a = -2 ) → ( a = 14 ) (이 경우는 제외)
   • ( 12 - a = -4 ) → ( a = 16 ) (이 경우는 제외)

8. 유효한 ( a )의 값은 ( 11, 10, 8 )입니다.

9. 이 값들의 합을 구합니다: [ 11 + 10 + 8 = 29 ]

따라서, ( x )에 대한 일차방정식의 해가 음의 정수가 되도록 하는 모든 ( a )의 값의 합은 ( \boxed{29} )입니다.