[질문] 3보다 큰 어떤 자연수를 5,6,8 로 각각 나누면 모두 3이 남는다고 한다. 이러한 수 중 가장 작은 수를 구하시오

주어진 문제는 어떤 자연수를 5, 6, 8로 나누었을 때 모두 3이 남는 수를 찾는 것입니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다:

• ( n \equiv 3 \mod 5 )
• ( n \equiv 3 \mod 6 )
• ( n \equiv 3 \mod 8 )

이 조건을 만족하는 수 ( n )을 찾기 위해, 각 나머지를 고려하여 ( n - 3 )이 5, 6, 8로 나누어 떨어져야 한다는 것을 알 수 있습니다. 즉,

• ( n - 3 = k \cdot 5 ) (for some integer ( k ))
• ( n - 3 = m \cdot 6 ) (for some integer ( m ))
• ( n - 3 = p \cdot 8 ) (for some integer ( p ))

여기서 ( n - 3 )는 5, 6, 8의 최소공배수(LCM)로 나누어 떨어져야 합니다. 따라서 ( n - 3 )는 ( \text{lcm}(5, 6, 8) )의 배수여야 합니다.

5, 6, 8의 최소공배수를 구해보면:

• 5는 소수이므로 ( 5^1 )
• 6은 ( 2^1 \times 3^1 )
• 8은 ( 2^3 )

따라서, 최소공배수는 ( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 120 )입니다.

이제 ( n - 3 = 120k ) (여기서 ( k )는 자연수)로 표현할 수 있습니다. 그러므로,

[ n = 120k + 3 ]

가 됩니다. ( k = 1 )일 때 가장 작은 자연수 ( n )을 구하면:

[ n = 120 \cdot 1 + 3 = 123 ]

따라서, 3보다 큰 자연수 중에서 5, 6, 8로 나누었을 때 모두 3이 남는 가장 작은 수는 123입니다.

이 문제를 해결하는 과정에서 사용된 개념은 나머지와 최소공배수의 관계입니다. 더 자세한 내용은 아래의 링크를 참조하실 수 있습니다.

참고 URL: Naver Blog - 수학 개념