[질문] 두 자연수 A,B에 대하여 A>B이고 A,B의 최대공약수가 12,최소공배수가 336이다.A-B=36일 때 A+B 의 값을 구하시오

주어진 문제를 해결하기 위해, 두 자연수 ( A )와 ( B )의 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)의 관계를 이용하겠습니다.

1. 주어진 조건 정리:

   • ( \text{GCD}(A, B) = 12 )
   • ( \text{LCM}(A, B) = 336 )
   • ( A - B = 36 )

2. GCD와 LCM의 관계: [ A \times B = \text{GCD}(A, B) \times \text{LCM}(A, B) ] 따라서, [ A \times B = 12 \times 336 = 4032 ]

3. A와 B의 표현: GCD를 이용하여 ( A )와 ( B )를 다음과 같이 표현할 수 있습니다: [ A = 12m, \quad B = 12n ] 여기서 ( m )과 ( n )은 서로소인 자연수입니다.

4. LCM을 이용한 관계: LCM을 이용하면, [ \text{LCM}(A, B) = \frac{A \times B}{\text{GCD}(A, B)} = \frac{12m \times 12n}{12} = 12mn ] 따라서, [ 12mn = 336 \implies mn = 28 ]

5. A와 B의 차이: ( A - B = 36 )를 대입하면, [ 12m - 12n = 36 \implies 12(m - n) = 36 \implies m - n = 3 ]

6. m과 n의 연립 방정식: 이제 두 식을 정리해보면, [ m - n = 3 \quad (1) ] [ mn = 28 \quad (2) ]

   (1)에서 ( m = n + 3 )으로 대체하여 (2)에 대입합니다: [ (n + 3)n = 28 \implies n^2 + 3n - 28 = 0 ]

7. 이차 방정식 풀이: 이 방정식을 풀면, [ n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \times 28}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2} ] 따라서, [ n = 4 \quad \text{또는} \quad n = -7 \quad (\text{자연수이므로 } n = 4) ] ( n = 4 )일 때, ( m = n + 3 = 7 ).

8. A와 B의 값: [ A = 12m = 12 \times 7 = 84 ] [ B = 12n = 12 \times 4 = 48 ]

9. A + B의 계산: [ A + B = 84 + 48 = 132 ]

결론적으로, ( A + B )의 값은 132입니다.

참고 URL: 수학방